15 May - Singularity resolution - who are doing it? #32
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Here are ten leading researchers currently working in fields related to singularity theory and its resolution, along with their profile URLs and relevant arXiv publications:
These researchers are making significant contributions to our understanding of singularities and their resolutions within the frameworks of quantum gravity, cosmology, and string theory. |
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Here are ten top mathematicians currently working on singularity theory and its resolution, along with their profile URLs and relevant arXiv links:
These mathematicians are at the forefront of research in singularity theory and its applications, working on resolving singularities in various mathematical contexts including algebraic geometry, differential geometry, and topological methods. |
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純粋数学の文脈において、特異点の除去とは、さまざまな数学的構造において、関数や方程式が定義されない値や無限の振る舞いを示す点（特異点）を扱い、解決することを意味します。以下は特異点の除去に関連する未解決の問題のいくつかです： 高次元における特異点の解消二次元および三次元における特異点の解消はよく理解されていますが、四次元以上の高次元空間で特異点を解消する一般的方法は依然として大きな課題です。任意の次元で特異点を体系的かつ建設的に解消する方法を見つけることが未解決の問題です。 双有理幾何学における最小モデル最小モデルプログラム（MMP）は、双有理変換を行って代数多様体を簡略化し、最小モデルまたは森ファイバー空間に到達することを目指します。特に複雑な特異点が存在する場合において、MMPの技術と理解を拡張することは、代数幾何学における未解決の問題です。 シンプレクティック特異点シンプレクティック特異点の構造と分類、その解決方法を理解することは、現在進行中の課題です。シンプレクティック幾何学は、代数幾何学と微分幾何学のアイデアを組み合わせたものであり、特異点の扱いにおいて独自の課題を提示します。 ミルナー繊維と消滅サイクル特異点理論において、ミルナー繊維と消滅サイクルは特異点のトポロジーに関する重要な情報を提供します。これらの繊維とサイクルの包括的な分類と理解、特に複雑な特異点に関しては、未解決の研究分野です。 対数的およびトロイダルな解消特異点の対数的およびトロイダルな解消の理論を開発することは、もう一つの挑戦的な問題です。これらの解消は、特異点の振る舞いをより制御された形で反映する特定の構造を含みます。 特異点の変形理論変形理論は、特異点が小さな摂動の下でどのように変化するかを研究します。さまざまな種類の特異点に対する変形の全範囲と、これらの変形が他の幾何学的構造とどのように相互作用するかを理解することは、現在進行中の課題です。 交差ホモロジー交差ホモロジーは、特異空間のための不変量を提供し、ホモロジーの概念を特異点を含む空間に拡張します。交差ホモロジーのより包括的な理論を開発し、新しい応用を見つけることは、活発な研究分野です。 特異多様体に対する幾何学的不変理論（GIT）代数幾何学において商を構築するためのツールを提供するGITを、特異点を持つ多様体に拡張することは未解決の問題です。これには、特異点が商の構築と結果として生じる幾何学的性質にどのように影響するかを理解することが含まれます。 モジュライ空間の特異点モジュライ空間は、幾何学的対象の族をパラメータ化します。特に安定な対象を表すモジュライ空間に生じる特異点の性質と解決を理解することは、未解決の問題です。 特異空間のトポロジカル不変量特異点を持つ空間のための新しいトポロジカル不変量を開発し、分類することは未解決の研究分野です。これらの不変量は、特異空間の構造を区別し、理解するのに役立ちます。 |
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以下は、現在特異点理論とその解決に取り組んでいるトップ数学者10名のプロフィールURLと関連するarXivリンクです： 1. コラー・ヤーノシュ（János Kollár）
2. 森重文（Shigefumi Mori）
3. クレール・ヴォワザン（Claire Voisin）
4. マーク・グロス（Mark Gross）
5. ミルチャ・ムスタツァ（Mircea Mustaţă）
6. 田剛（Gang Tian）
7. ドゥサ・マクダフ（Dusa McDuff）
8. マキシム・コンツェビッチ（Maxim Kontsevich）
9. ベルント・シュトゥルムフェルス（Bernd Sturmfels）
10. 川又雄二郎（Yujiro Kawamata）
これらの数学者たちは、代数幾何学、微分幾何学、および位相的手法を含む様々な数学的文脈で特異点の解決に取り組んでおり、この分野の最前線で研究を行っています。 |
In the context of pure mathematics, singularity cancellation involves addressing and resolving the singular points (points where a function or an equation ceases to be well-behaved, such as having an undefined value or infinite behavior) in various mathematical structures. Here are some unsolved problems related to singularity cancellation:
Resolution of Singularities in Higher Dimensions: While the resolution of singularities in two and three dimensions is well-understood, general methods for resolving singularities in higher-dimensional spaces (four dimensions and beyond) remain a significant challenge. Finding a systematic and constructive way to resolve singularities in arbitrary dimensions is an open problem.
Minimal Models in Birational Geometry: The Minimal Model Program (MMP) aims to simplify algebraic varieties by performing birational transformations to reach a minimal model or a Mori fiber space. Extending the techniques and understanding of the MMP, especially in the presence of complex singularities, remains an open problem in algebraic geometry.
Symplectic Singularities: Understanding the structure and classification of symplectic singularities and their resolutions is an ongoing problem. Symplectic geometry, which combines ideas from algebraic geometry and differential geometry, poses unique challenges when dealing with singular points.
Milnor Fibers and Vanishing Cycles: In singularity theory, Milnor fibers and vanishing cycles provide crucial information about the topology of singular points. A comprehensive classification and understanding of these fibers and cycles, particularly for more complex singularities, are still open areas of research.
Logarithmic and Toroidal Resolutions: Developing a thorough theory for logarithmic and toroidal resolutions of singularities is another challenging problem. These resolutions involve specific structures that reflect the behavior of singularities in a more controlled manner.
Deformation Theory of Singularities: Deformation theory studies how singularities change under small perturbations. Understanding the full scope of deformations for various types of singularities and how these deformations interact with other geometric structures is an ongoing problem.
Intersection Homology: Intersection homology provides invariants for singular spaces, extending the concept of homology to spaces with singularities. Developing a more comprehensive theory and finding new applications of intersection homology remains an active area of research.
Geometric Invariant Theory (GIT) for Singular Varieties: Extending GIT, which provides tools for constructing quotients in algebraic geometry, to varieties with singularities is an open problem. This involves understanding how singularities affect the quotient construction and the resulting geometric properties.
Singularities in Moduli Spaces: Moduli spaces parameterize families of geometric objects. Understanding the nature and resolution of singularities that arise in moduli spaces, particularly those representing stable objects, is an unsolved problem.
Topological Invariants of Singular Spaces: Developing and classifying new topological invariants for spaces with singularities is an open area of research. These invariants would help in distinguishing and understanding the structure of singular spaces.
These problems span various areas of mathematics, including algebraic geometry, symplectic geometry, topology, and singularity theory, reflecting the deep and interconnected nature of singularities in mathematical structures.
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